Kennari:  Helgi Tómasson (HT, helgito@rhi.hi.is).

Umsjón: Guðmundur R. Jónsson (GRJ, grj@verk.hi.is).

Kennslubók:  Björk, Tomas, Arbitrage theory in continuous time, Oxford University Press, 1998; efni sem kennari dreifir.

Hliðsjónarbók: Duffie, D., Dynamic Asset Pricing Theory, Princeton,  1996.

Markmið og forkröfur:  Í þessu námskeiði er tekið fyrir sú líkindafræði  sem  grundvallar slembna fjármálafræði. Eðli þeirrar óvissu sem einkennir framtíðina á nútíma fjármálamörkuðum er lýst með formlegum hætti samkvæmt reglum líkindafræðinnar.  Grunnhreyfingu verða á fjármálamörkuðum er lýst stærðfræðilega með slembigangi í samfelldum tíma,  þ.e. Wiener-ferli og hreyfina annarra stærða sem einhvers konar föllum Wiener-ferlum.  Þau föll eru lausnir á slembnum diffurjöfnum, þ.e. diffusion ferlum.   Margar eignir sem verslað er með á fjármálamörkuðum eru flókin föll af öðrum eignum.  Eðli hreyfiferla má tengja með notkun á Ito-Lemmu, þ.e. að fá má slembna diffurjöfnu fyrir hreyfingu A  út frá slembinni diffurjöfnu fyrir hreyfingu B ef tengsl A og B er þekkt fall af ákveðinni gerð.

Til að unnt sé að verðleggja samninga á fjármálamarkaði þarf að gera ráð fyrir ákveðu umhverfi.  Umhverfið sem hér er gengið út frá er að ekki sé hægt að fá öruggan hagnað, (e. arbitrage-free market).  Sett yfir á mál líkindafræðinnar er því eðli verðferla á slíkum mörkuðum nátengt eðli stórrar fjöldskyldu slembiferli, þ.e. martingale ferla.  Verðferill samnings fylgir undir vissum kringumstæðum lausn á parabólískru hlutafleiðujöfnu.  Setning Feynman-Kac tengir saman slíka hlutafleiðujöfnu og ákveðna slembna diffurjöfnu.  Verðferillinn er væntanlegt gildi lausnar slembinnar diffurjöfnu.  Ljóst verður að verðlagning er í vissum skilningi jafngilt lausn á hlutafleiðujöfnu.  Með setningu Feynman-Kac verður sönnun á reglu Black-Scholes augljós (Þeir sem kunnugir eru eðlisfræði sjá e.t.v. tengsl þeirrar hlutafleiðujöfnu við hitajöfnuna).

Þessi hugtök eru síðan tengd samningum á mörkuðum og sýnd hvernig fræðin vinna með evrópskar vilnanir.    Hugtök í sambandi við áhættuvarnir, delta- gamma-  (e. hedging) o.s.frv. verða kynnt .  Sértæk líkön fyrir gjaldeyrismarkaði, skuldabréf o.fl.  verða kynnt.

Sett verða fyrir blað og blýantsdæmi úr bók vikulega fyrri hluta námskeiðs en seinni hluta námskeiðs verða gerð tölvuverkefni, bæði með hermun og raunverulegum gögnum.   Forritunar mál sem kennari notast við eru aðallega OCTAVE( ókeypis MATLAB-mállýska) og R (ókeypis S-PLUS mállýska) ásamt FORTRAN.  Kynnt verður forritasafn
quantlib sem samið er í C+.

Æskilegar forkröfur eru góð tök á stærðfræðigreiningu, líkindafræði og tölfræði. Diffrun og heildun á svipuðu stigi og stærðfræðigreining I og II er algerlega nauðsynleg, þekking á normaldreifingu og grunnhugtökum í líkindafræði sömuleiðis. Æskilegt er að þáttakendur kunni grunnatriði um hlutafleiðujöfnur (stærðfræðigreining IV). Kunnátta í málfræði (e. measure theory) er gagnleg en ekki nauðsynleg. Í besta falli verður reynt að stikla kringum málfræðileg hugtök og áhugasömum nemendum bent á viðbótarefni. Nauðsynlegt að þáttakendur geti samið eigin forrit í einhverjum forriturnarmálum, MATLAB, C/Fortran o.s.frv.

Próf :  Skriflegt 3 tíma próf sem gildir 70% af einkunn.  Verkefni og dæmi gilda 30%.

Gróf námsáætlun: 

Vika		Efni
1-2		Grunnhugtök, K. 1-2 í Björk.
3-4		Stókastískur Calculus, slembar diffurjöfnur, Ito-lemma. Hreyfing eignakarfa. Áhættulaus hagnaður (arbitrage), fullkominn (complete) markaður, K 3-5 í Björk
5-6		Hlutafleiðurjöfnur. Setningar Feyman-Kac og Black-Sholes. K 6-7 í Björk. Áhættuvörn (hedging), afleiður (evrópskar/amerískar), K 8-9 í Björk
7-8		Gjaldeyrisafleiður og ófullkomnir markaðir, K 10 og 12 í Björk. Skuldabréf, vextir, martingale líkön,  K 15-17 í Björk.
9-10		Ýmis líkön, Vacicek, Cox-Ingersoll-Ros, Hull-White.  Líkindafræði fyrir ýmsar gerðir afleiða .  K 17-20 í Björk.
11-12		Fræðlegt yfirlit og æfingar með hermun.
13-14		Æfingar með raunveruleg gögn.
15		Upprifjun og yfirlit.